Klára a hazai jazzélet kiemelkedő alakja, az ország és Európa népszerű jazz zenekar, a Balázs Elemér Group női énekese volt 2004 januárjától 2012 végéig.
2 aranylemezt, Fonogram díjat tudhatnak magukénak valamint teltházas koncerteket Magyarország és Európa számos nagyvárosában (Pozsony, Prága, Bécs, Oradea, München, Berlin, Róma, Párizs, Oslo, Glasgow London, Madrid…).

Olyan nevekkel dolgozott együtt, mint Nuria Rial (E), Tim Ries (USA), Stephane Belmondo (F), Oláh Kálmán, Szakcsi Lakatos Béla, Szakcsi Lakatos Béla Jr., Dés László, Dés András, Barcza Horváth József, Czvikovszky Gábor, Lukács Miklós, Borbély Mihály, László Attila, Berki Tamás, Malek Andrea, Walter Lochmann (A), Latmann Béla, Bacsó Kristóf, Palya Bea, Szalóki Ági, Juhász Gábor, Glaser Péter, Harcsa Veronika, Gereben Zita, Micheller Myrtill, Gájer Bálint, Transform Quintett, Lakatos Ágnes, Márkus Tibor, Csuhaj Barna Tibor, Jeszenszky György, Zana Zoltán, Szirtes Edina Mókus, Fabula Rasa, Nikola Parov, Csík zenekar, Herczku Ági, Voces4, Fenyvesi Márton, Oliver Bader ®, Egri János, Peczek Lakatos Krisztián, Oláh Tzumo Árpád, Jelinek Emil (Emilio), Four Bones Quartet, Chameleon Jazz Band, Debrecen Big Band, Szolnoki Péter, Dennert Árpád, Révész Richárd Ricardo, Kaszás Péter, The Balkan Fanatik, Lerch István, Charlie…

A fiatal énekesnő zenei tanulmányait óvodás korában kezdte, majd zenei általános iskolában és zeneiskolában tanult. Zongorázott, kórusban énekelt. Szülei zenei ízlése nagy hatással volt rá, már gyermekként megismertették vele a jazz muzsikát. 15 éves korától 5 éven át tanult jazz éneklést Szegeden a HAMMIDO Alapfokú Könnyűzenedében Szabó Adrientől, és ezzel egyidőben kezdett fellépni.

2001-ben a SONY MUSIC és a BRAVO közös tehetségkutató versenyén szólóének kategóriában első, összesítettben harmadik helyezést ért el.

2003 és 2005 között a székesfehérvári Dr. Lauschmann Gyula Zeneművészeti Jazz Szakközépiskola jazz-ének szakán tanult Pocsai Kriszta, Pély Barnabás és Kiss Noémi növendékeként. Ezalatt több zenekarban énekelt, vokálozott és a TV2 Megasztár 1. versenyén az első 15 versenyző között végzett.

2004-ben érte az a megtiszteltetés, hogy felkérték legyen a női énekese Magyarország egyik legnépszerűbb jazz-zenekarának, a Balázs Elemér Groupnak, ahol Winand Gábor mellett énekelhetett.

Saját zenekarát, a Hajdu Klára Quartetet 2008 tavaszán alapította Balázs József zongoristával, Soós Márton bőgőssel és Cseh Balázs dobossal. A fiatal generáció tehetséges zenészeiből álló zenekar számos klubban és fesztiválon adott koncertet.

2009-ben énekelt Pacsovszky József : A vágyakozás napjai című filmjében, amely elnyerte a 41. Magyar Játékfilmszemle Arany Mikrofon díját. A filmzenét Bacsó Kristóf szerezte.

Klára 2009 nyarán diplomázott kiváló eredménnyel a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem jazz-ének szakán Berki Tamás, Lakatos Ágnes és Holczer Irma növendékeként.

Előadóművészete mellett Klára keresett pedagógus is, tanított többek közt a Budai Művészképzőben, a Lamantin Improvizációs táborban, hangképzője volt a II. Rákóczi Ferenc Fővárosi Gyakorló Közgazdasági Szakközépiskola kórusának.
2009 szeptemberétől a budapesti Tóth Aladár Zeneiskolában tanít jazz-éneklést.
2010 novemberétől a Talentum Nemzeti Kisebbségi Alapfokú Művészetoktatási Intézmény, Táncművészeti és Zeneművészeti Szakképző Iskola ének tanára.

2010 novemberében jelent meg Klára első önálló albuma Ajándék címmel, amely magyar nyelvű tradicionális karácsonyi dalokat tartalmaz jazzes hangszerelésben. Olyan kiváló muzsikusok szerepelnek a korongon, mint Balázs József, Balázs Elemér, Barcza Horváth József, Farkas Norbert, Lamm Dávid és Zana Zoltán.
“Különleges és egyedi vállalás a tradicionális dalok jazzes hangszerelése, a végeredmény pedig igen kellemes a fülnek és a szívnek egyaránt.” (moksha.hu)
“Íme egy lemez, mely végre nem hivalkodik, hanem békét, nyugalmat hoz és bearanyozza az ünnepet!” (Szolnoki Péter – zene.hu)

2011 őszén a Balkan Fanatik felkérte Klárát, közreműködjön Ölelj magadhoz című albumán, és ezzel új színt visz a zenekarra jellemző eklektikus zenei világba.

2011 karácsonyán megjelent első közös duettje Szolnoki Péterrel, Az első karácsony című ’95-ös Bon-Bon dal Révész Richárd által újrahangszerelt verziója. Révész Richárd zongorázik, Dennert Árpád szaxofonozik, Barcza Horváth József bőgőzik és Kaszás Péter dobol a felvételen.

2012 elején megújult a Hajdu Klára Quartet. A zenekar két alapító tagja Balázs József és Cseh Balázs helyett Neumann Balázs zongorista és Hoff Marcell dobos csatlakozott a zenekarhoz. Saját szerzeményeik mellett fiatal kortárs jazz zenészek szerzeményei, pop coverek, jazz standardek és népdalok jazz feldolgozásai szerepelnek repertoárjukban.

2012 szeptemberében Klára a Vienna Konservatorium, a bécsi főiskola budapesti kihelyezett tagozatának jazz-ének tanára lett.

2012 novemberében 9 sikeres és termékeny év után kilépett a Balázs Elemér Groupból, hogy szólókarrierjét építse és quartetjével saját zenei elképzeléseit megvalósítsa.

2013 februárjától felkészítő tanárként dolgozik a tv2 Az ének iskolája című gyermek tehetségkutató műsorában.

2013 nyarán nagy sikerrel szerepelt a Nescafé országos reklámkampányában az Amoeba együttessel közösen felvett Sunshine című slágerrel.

2013 októberében megjelent a quartet első nagylemeze Come With Me címmel, amit teltház és lelkes közönség fogadott a bemutatón a Budapest Jazz Clubban.